消除牛吃草难题的主导公式,牛吃草难点日常给出分裂头数的牛吃同一片次的草

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场,是公考数量关系部分令很多考生头疼的问题。这类题看似很难,其实只要抓住了方法,就很容易解答。下面京佳秦老师以几道典型例题为例,给大家讲解这类题的解题方法和技巧。

牛吃草问题,是数量关系部分令很多考生头疼的问题。这类题看似很难,其实只要抓住了方法,就很容易解答。牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草,这块地既有原有的草,又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同,求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

首先给大家介绍牛吃草问题的由来。英国数学家牛顿(1642—1727)在他的《普遍的算术》一书中,有一个关于求牛和头数的题目,人们称之为牛顿的牛吃草问题。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同,草又是天天在生长的,所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。由于牛在吃草的过程中,草是不断生长的,所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。

牛吃草问题的解题关键是弄清楚已知条件,进行对比分析,从而求出每日新长草的数量,再求出草地里原有草的数量,进而解答题总所求的问题。

知道了这一问题的来龙去脉,京佳秦老师接下来具体讲解如何解答这一类问题。

解决问题的核心公式:y=(N-x)×T,其中y=草量,N=牛的头数,x=草的生长速度,T=吃的天数。这个式子就是解决牛吃草问题的基础,下面我们结合例题教给大家怎么运用这一公式解答相关题:

解决牛吃草问题的核心公式:y=(N-x)×T,其中y=草量,N=牛的头数,x=草的生长速度,T=吃的天数(注意:若涉及“总量”随时间的推移而“变小”的题型,必须将公式中减号换为加号)。

1.12头牛4周吃完6公顷的牧草,20头牛6周吃完12公顷的牧草。假设每公顷原有草量相等,草的生长速度不变。问多少头牛8周吃完16公顷的牧草?(
)

这个式子就是解决牛吃草问题的基础,下面我们结合例题教给大家怎么运用这一公式解答相关题:

A.16B.20C.24D.25

1.
牧场上有一片牧草,可以供27头牛吃6天,供23头牛吃9天,如果每天牧草生长的速度相同,那么这片牧草可以供21头牛吃几天?(
)

解析:C本题属于“牛吃草问题”。现在是三块面积不同的草地。6,12,16的最小公倍数是48。6×8=48,12×4=48,16×3=48。为了解决这个问题,只需将三块草地的面积统一起来。公顷数扩大,所需牛的头数也扩大。所以原题可变为:12×8=96头牛4周吃完48公顷的牧草,20×4=80头牛6周吃完48公顷的牧草。问多少头牛8周吃完48公顷的牧草?根据“牛吃草问题”的核心公式:y=(N-x)×T,设每周新长出x单位的草,牧场原有y单位的草,根据题意可得:y=(96-x)×4;y=(80-x)×6,解得:x=48,y=192。设N头牛8周吃完48公顷的牧草。则192=(3N-48)×8,得:3N=72,N=24。故24头牛8周吃完16公顷的牧草。故选C。

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

2.牧场上有一片牧草,可以供27头牛吃6天,供23头牛吃9天,如果每天牧草生长的速度相同,那么这片牧草可以供21头牛吃几天?(
)

解析:B
本题属于“牛吃草问题”。根据“牛吃草问题”的核心公式:y=(N-x)×T,设每天新长出x单位的草,牧场原有y单位的草,根据题意可得:y=(27-x)×6;y=(23-x)×9,解得:x=15,y=72。设这片牧草可以供21头牛吃T天,则72=(27-15)×T,得:T=6。故供21头牛吃6天。故选B。

A.5B.6C.7D.8

多块草地的“牛吃草”问题,一般情况下找多块草地的最小公倍数,这样可以减少运算难度,但如果数据较大时,我们一般把面积统一为“1”相对简单些。

解析:B本题属于“牛吃草问题”。根据“牛吃草问题”的核心公式:y=(N-x)×T,设每天新长出x单位的草,牧场原有y单位的草,根据题意可得:y=(27-x)×6;y=(23-x)×9,解得:x=15,y=72。设这片牧草可以供21头牛吃T天,则72=(27-15)×T,得:T=6。故供21头牛吃6天。故选B。

2.
12头牛4周吃完6公顷的牧草,20头牛6周吃完12公顷的牧草。假设每公顷原有草量相等,草的生长速度不变。问多少头牛8周吃完16公顷的牧草?(
)

多块草地的“牛吃草”问题,一般情况下找多块草地的最小公倍数,这样可以减少运算难度,但如果数据较大时,我们一般把面积统一为“1”相对简单些。

A. 16 B. 20 C. 24 D. 25

牛吃草问题还应用于工程问题,行程问题,流水问题等等。

解析:C
本题属于“牛吃草问题”。现在是三块面积不同的草地。6,12,16的最小公倍数是48。6×8=48,12×4=48,16×3=48。为了解决这个问题,只需将三块草地的面积统一起来。公顷数扩大,所需牛的头数也扩大。所以原题可变为:12×8=96头牛4周吃完48公顷的牧草,20×4=80头牛6周吃完48公顷的牧草。问多少头牛8周吃完48公顷的牧草?根据“牛吃草问题”的核心公式:y=(N-x)×T,设每周新长出x单位的草,牧场原有y单位的草,根据题意可得:y=(96-x)×4;y=(80-x)×6,解得:x=48,y=192。设N头牛8周吃完48公顷的牧草。则192=(3N-48)×8,得:3N=72,N=24。故24头牛8周吃完48公顷的牧草。故选C。

3.一个水池安装有排水量相等的排水管若干根,一根入水管不断地往池里防水,平均每分钟入水量相等,如果同时开放3根排水管,45分钟可以把池中水排完;同时,开放5根排水管25分钟把池中水排完,那么,同时开放8根排水管,几分钟排完池中的水?(
)

牛吃草问题还应用于工程问题,行程问题,流水问题等等。

A.12B.14C.15D.18

3.
一个水池安装有排水量相等的排水管若干根,一根入水管不断地往池里防水,平均每分钟入水量相等,如果同时开放3根排水管,45分钟可以把池中水排完;同时,开放5根排水管25分钟把池中水排完,那么,同时开放8根排水管,几分钟排完池中的水?(
)

解析:C本题属于牛吃草问题。“进水管每分钟进水”相当于“草”,“排水管”相当于“牛”,根据“牛吃草问题”的核心公式:y=(N-x)×T,设池中原有水y单位,进水管每分钟进水x单位,可得:y=(3-x)×45,y=(5-x)×25,解得:x=0.5,y=112.5。设同时开放8根排水管,T分钟排完池中的水。则112.5=(8-0.5)×T,得:T=15。同时开放8根排水管,15分钟排完池中的水。故选C。

A. 12 B. 14 C. 15 D. 18

4.自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个性急的孩子嫌扶梯走得慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒钟向上走1梯级,女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上,女孩用60秒到达楼上。该扶梯共有多少级?(
)

解析:C 本题属于牛吃草问题。“进水管每分钟进水”相当于“草”,“
排水管”相当于“牛”,根据“牛吃草问题”的核心公式:y=(N-x)×T,设池中原有水y单位,进水管每分钟进水x单位,可得:y=(3-x)×45,y=(5-x)×25,解得:x=0.5,y=112.5。设同时开放8根排水管,T分钟排完池中的水。则112.5=(8-0.5)×T,得:T=15。同时开放8根排水管,15分钟排完池中的水。故选C。

A.100B.120C.150D.180

4.
有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发,沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用3分钟,5分钟,8分钟分别追上骑车人。已知快速车每小时54千米,中车速每小时39.6千米,那么慢车的车速是多少(假设骑车人的速度不变)?

解析:A本题属于“牛吃草问题”。“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”,“草”变成了“梯级速度”,“牛”变成了“人的速度”。根据“女孩每3秒钟走2梯级”,得女孩每秒钟走3(2)梯级。根据“牛吃草问题”的核心公式:y=(N-x)×T,设扶梯的梯级总数为y,梯级速度为x。根据题意可得:y=(1+x)×50;y=(3(2)+x)×60,解得:x=1,y=100。则扶梯的梯级总数为100。故选A。

A. 31 B.31.5 C. 32 D. 32.5

5.有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发,沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用3分钟,5分钟,8分钟分别追上骑车人。已知快速车每小时54千米,中车速每小时39.6千米,那么慢车的车速是多少(假设骑车人的速度不变)?

解析:B
本题属于“牛吃草问题”。“总的草量”变成了“车与人最初的距离”,“草”变成了“人的速度”,“牛”变成了“车的速度”。根据“牛吃草问题”的核心公式:y=(N-x)×T,设车与人最初的距离为y,人的速度为x。根据题意可得:y=(54-x)×3;y=(39.6-x)×5,解得:x=18,y=108。设丙车的速度为N。则108=(N-18)×8,解得:N=31.5。故丙车的速度为31.5。故选B。

A.31B.31.5C.32D.32.5

5.
自动扶梯以匀速由下往上行驶,两个性急的孩子嫌扶梯走得慢,于是在行驶的扶梯上,男孩每秒钟向上走1梯级,女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上,女孩用60秒到达楼上。该扶梯共有多少级?(
)

解析:B本题属于“牛吃草问题”。“总的草量”变成了“车与人最初的距离”,“草”变成了“人的速度”,“牛”变成了“车的速度”。根据“牛吃草问题”的核心公式:y=(N-x)×T,设车与人最初的距离为y,人的速度为x。根据题意可得:y=(54-x)×3;y=(39.6-x)×5,解得:x=18,y=108。设丙车的速度为N。则108=(N-18)×8,解得:N=31.5。故丙车的速度为31.5。故选B。

A. 100 B.120 C. 150 D. 180

运用核心公式计算牛吃草问题,给考生带来很多方便,在熟悉公式的基础上,做下面几道练习题进行巩固。

解析:A
本题属于“牛吃草问题”。“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”,“草”变成了“梯级速度”,“牛”变成了“人的速度”。根据“女孩每3秒钟走2梯级”,得女孩每秒钟走梯级。根据“牛吃草问题”的核心公式:y=(N-x)×T,设扶梯的梯级总数为y,梯级速度为x。根据题意可得:y=(1+x)×50;y=(2/3+x)×60,解得:x=1,y=100。则扶梯的梯级总数为100。故选A。

1.20匹马72天可吃完32公顷牧草,16匹马54天可吃完24公顷的草。假设每公顷牧草原有草量相等且每公顷草每天的生长速度相同。那么多少匹马36天可吃完40公顷的牧草?(
)

运用核心公式计算牛吃草问题,给考生带来很多方便,在熟悉公式的基础上,做下面几道练习题进行巩固。

A.20B.25C.30D.35

1.
牧场长满牧草,每天牧草匀速生长,这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天。问可供25头牛吃几天?(
)

2.有一水井,继续不断涌出泉水,每分钟涌出的水量相等。如果使用3架抽水机来抽水,36分钟可以抽完,如果使用5架抽水机来抽水,20分钟可抽完。现在12分钟内要抽完井水,需要抽水机多少架?(
)

A. 4 B.6 C. 8 D. 5

A.5B.6C.7D.8

2.
20匹马72天可吃完32公顷牧草,16匹马54天可吃完24公顷的草。假设每公顷牧草原有草量相等且每公顷草每天的生长速度相同。那么多少匹马36天可吃完40公顷的牧草?(
)

3.甲、乙、丙三辆车同时从a地出发,出发后6分钟甲车超过了一名长跑运动员,过了2分钟后乙车也超过去了,又过了2分钟丙车也超了过去。已知甲车每分钟走1000米,乙车每分钟走800米,求丙车的速度。(
)

A. 20 B. 25 C. 30 D. 35

A.560B.620C.680D.700

3.
有一水井,继续不断涌出泉水,每分钟涌出的水量相等。如果使用3架抽水机来抽水,36分钟可以抽完,如果使用5架抽水机来抽水,20分钟可抽完。现在12分钟内要抽完井水,需要抽水机多少架?(
)

4.牧场长满牧草,每天牧草匀速生长,这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天。问可供25头牛吃几天?(
)

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

A.4B.6C.8D.5

4.
甲、乙、丙三辆车同时从a地出发,出发后6分钟甲车超过了一名长跑运动员,过了2分钟后乙车也超过去了,又过了2分钟丙车也超了过去。已知甲车每分钟走1000米,乙车每分钟走800米,求丙车的速度。(
)

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A. 560 B.620 C. 680 D. 700

5.
哥哥沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底,共走了100级,相同的时间内,妹妹沿着自动扶梯从底向上走到顶,共走了50级。若哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍。那么当自动扶梯静止时,自动扶梯能看到的部分有多少级?(
)

A. 25 B. 50 C. 75 D. 80